【解法】XY-Chain

　図1-1 の盤面で説明していきましょう。

　XY-Chain の使えるチェーンをこの盤面から作ってみます。
　さて、どんなチェーンができるんでしょう？

　そのチェーンとは、図1-2 の通りです。
　マスＡからＥまで、４個の弱いリンクでつながっていますね。

• マスＡ, Ｂの候補数字４は 弱いリンク で結ばれている。
• マスＢ, Ｃの候補数字３は 弱いリンク で結ばれている。
• マスＣ, Ｄの候補数字９は 弱いリンク で結ばれている。
• マスＤ, Ｅの候補数字７は 弱いリンク で結ばれている。
• チェーン両端の２マスＡ, Ｅには 候補数字２ がある。
• ５マスＡ〜Ｅはどれも候補数字を２個しか持っていない。

　弱いリンクのみのチェーンであること、どのマスも候補数字が２つしかないことを確認してみてください。
　また、チェーン両端の２マスＡ, Ｅには候補数字２が１個ずつありますね。同じ数字というのが大事です。

　さて、こんなふうに一本のチェーンができました。
　このチェーンから何が言えるんだろうか……？

　まずは結論を言いましょう。
　こうなります。

• チェーン両端の２マスＡ, Ｅと列を共有しているマスがある。そのマスから候補数字２を除去できる。

　図1-3 だと、赤色の２マスが該当します。
　上の赤色マスはＡとヨコ列を共有し、Ｅとタテ列を共有しています。
　下の赤色マスはＡとタテ列を共有し、Ｅとヨコ列を共有しています。
　その２マスから候補数字２を除去できるんです。

　なぜこういう結論になるんでしょう？
　それは、２マスＡ, Ｅの少なくとも一方に必ず数字２が入るからなんです。
　それを解説しましょう。

　今、試しに「マスＡに数字２は入らない」と仮定してみます。
　すると、その仮定を皮切りにチェーンに沿って連鎖が起こります。
　しかも、どのマスも候補数字が２個しかないために、流れが最後まで止まらない！

1. （仮定）マスＡに２が入らない。
2. すると、マスＡに４が入ることになる。
3. すると、弱いリンク によりマスＢに４は入らない。３を入れるしかない。
4. すると、弱いリンク によりマスＣに３は入らない。９を入れるしかない。
5. すると、弱いリンク によりマスＤに９は入らない。７を入れるしかない。
6. すると、弱いリンク によりマスＥに７が入らない。２を入れるしかない。

　マスＡに２が入らないとすると、回り回ってマスＥに２が入る。
　というわけで、次のことが成り立つんです。

• マスＡに２が入らない場合、必ずマスＥに２が入る。

　マスＡに数字２が入らなければ必ずマスＥに数字２が入る。
　となると、数字２を入れられないマスが生じます。
　２マスＡ, Ｅ両方と列を共有しているマスです。×印を付けています（図1-5）。

　マスＡに数字２が入るか否か、どちらかが成り立ちますね。
　２が入る場合、×印マスに２は入れられません。
　２が入らない場合、代わりにマスＥに２が入ります。この時も×印マスに２は入れられません。
　結局、どちらにしても×印マスに２は入らないんです。

　図1-3 の結論通りになりましたね😊

　図2-1 の盤面には XY-Chain の使えるチェーンがあります。
　マスＡからＤまで、３つの弱いリンクが連なったチェーンです。

• マスＡ, Ｂの候補数字４は 弱いリンク で結ばれている。
• マスＢ, Ｃの候補数字２は 弱いリンク で結ばれている。
• マスＣ, Ｄの候補数字８は 弱いリンク で結ばれている。
• チェーン両端のマスＡ, Ｄには 候補数字６ がある。
• ４マスＡ〜Ｄはどれも候補数字を２個しか持っていない。

　この場合の結論はどうなるんでしょう？
　こうなります。

• チェーン両端の２マスＡ, Ｄと列やブロックを共有しているマスが複数ある。そのマスから候補数字６を除去できる。

　図2-2 だと、赤色の５マスが該当します。
　左の２マスはＡとブロックを共有し、Ｄとヨコ列を共有しています。
　右の３マスはＡとヨコ列を共有し、Ｄとブロックを共有しています。
　その５マスから候補数字６を除去できるということなんです。

　理由は前セクションで展開した理屈と同じ！
　２マスＡ, Ｄの少なくとも一方に必ず数字６が入るからなんですね。
　一応、以下で解説しましょう。

　今、試しに「マスＡに数字６は入らない」と仮定してみます。
　すると、前セクション同様、チェーンに沿って連鎖が起こります。

1. （仮定）マスＡに６が入らない。
2. すると、マスＡに４が入ることになる。
3. すると、弱いリンク によりマスＢに４は入らない。２を入れるしかない。
4. すると、弱いリンク によりマスＣに２は入らない。８を入れるしかない。
5. すると、弱いリンク によりマスＤに８は入らない。６を入れるしかない。

　マスＡに６が入らないとすると、回り回ってマスＤに６が入る。
　というわけで、次のことが成り立ちます。

• マスＡに６が入らない場合、必ずマスＤに６が入る。

　マスＡに数字６が入らなければ必ずマスＤに数字６が入る。
　となると、数字６を入れられないマスが生じます。
　２マスＡ, Ｄ両方と列やブロックを共有しているマスです。×印を付けています（図2-4）。

　マスＡには６が入るか否か、どちらかが成り立つ。
　６が入る場合、どの×印マスにも６は入れられない。
　６が入らない場合、代わりにマスＤに６が入る。この時も×印のマスに６は入れられない。
　結局、どちらにしても×印マスに６は入らないんですね。

　図2-2 の結論通りになりましたね😊
　前セクションよりもさらに多く除去されました。

　例えば、図3-1 のような形です。
　チェーン両端のマスＡ, Ｅは同じタテ列に属していますね。

　実は、この場合の一般的な解法として Nice Loop（連続ループ） というのがあります！　それを見てくださ〜い！
　以上！
　……と言えればいいんだけど、さすがに Nice Loop は難解すぎる😅
　理屈は Nice Loop とほぼ同じですが、ここでは XY-Chain の場合として説明していくことにしましょう。

　一応、過去のセクションと同様に論理展開していくと、次の結論は得られます。

• ２マスＡ, Ｅの属するタテ列において、Ａ, Ｅ以外のマスから候補数字１を除去できる。

　マスＡ, Ｅの一方に必ず数字１が入ることになるからですね。

　ところが、それ以上にさらに深い結論が得られるんです。

　結論はこうなります。

1. チェーン両端のマスを弱いリンクで結んで、チェーンをループ状にすることができる。
2. 弱いリンクを含んでいる列やブロックにおいて、直接リンクされていないマスから該当の候補数字を除去できる。
   （a. で結んだリンクもその対象です）
3. 弱いリンクが全部強いリンクに置き換わる。
   （a. で結んだリンクもその対象です）

　a. b. c. 成立後の盤面が 図3-2 です。
　ぶゎ〜、なんという変わりよう！
　チェーンはガラッと変わるわ、候補数字はボロボロ除去されるわ（×印を付けてます）、どうしてこうなっちゃうの!?

　b. がわかりづらいので、具体例をひとつ。
　青色ヨコ列において２マスＡ, Ｂの候補数字８が弱いリンクで結ばれていましたが、その２マスにしか数字８の入る可能性がなくなるということです。他のマスから候補数字８を除去できます（青色×印）。

　いや〜、なんでこうまで変貌を遂げてしまうんだろう？
　それを解説しましょう。

　チェーン両端のＡとＥにはリンクされていない候補数字が１個ずつあり、その数字は同じです。両方とも１ですね。
　だから、その候補数字を弱いリンクで結ぶことができます。早速、結んじゃいましょう！
　そうすると、５つの弱いリンクでぐるっと一周して、チェーンはループ状になります。

　ここで、試しに「マスＡに８が入る」と仮定すると、チェーンに沿って連鎖して矛盾なくマスＡに戻ってきます（図3-3）。

1. マスＡに８が入る。
2. 弱いリンク によりマスＢに８は入らない。３が入る。
3. 弱いリンク によりマスＣに３は入らない。９が入る。
4. 弱いリンク によりマスＤに９は入らない。５が入る。
5. 弱いリンク によりマスＥに５は入らない。１が入る。
6. 弱いリンク によりマスＡに１は入らない。
7. 1. に戻る。

　7. により、上記の手順は循環できます。
　だから、どの番号から始めても一巡して同番号に戻ってくる。
　これは、マスＡ〜Ｅのどこから始めても時計回りに論理展開できて 図3-3 と同じ結果に至るということなんです。

　前図3-3 の手順が循環することを踏まえて、今度は「マスＢに８は入らない」という仮定で話を進めてみましょう。
　こういう手順で進んでいきます（図3-4）。

1. （仮定）マスＢに８は入らない。
2. マスＢに３が入る。
3. 弱いリンク によりマスＣに３は入らない。９が入る。
4. 弱いリンク によりマスＤに９は入らない。５が入る。
5. 弱いリンク によりマスＥに５は入らない。１が入る。
6. 弱いリンク によりマスＡに１は入らない。８が入る。

　さて、ここで大事なことが１つ判明しました。
　これが成り立ったんです。

• マスＢに８が入らない場合、必ずマスＡに８が入る。

　前図3-4 で説明した通り、「マスＢに８が入らなければ必ずマスＡに８が入る」ことが成り立ちました。
　これはマスＢから手順を進めた結果です。

　チェーンはループ状であり、手順は循環できるんでしたね。
　つまり、Ｂ以外のどのマスから始めても同様の論理展開ができる！
　結局、全部で５つの結果が得られるんです。

• マスＢに８が入らなければ、必ずマスＡに８が入る。
• マスＣに３が入らなければ、必ずマスＢに３が入る。
• マスＤに９が入らなければ、必ずマスＣに９が入る。
• マスＥに５が入らなければ、必ずマスＤに５が入る。
• マスＡに１が入らなければ、必ずマスＥに１が入る。

　マスＢに数字８が入るか否か、どちらかが成り立つ。
　８が入るならそれで良し。
　８が入らないなら、代わりにマスＡに８が入ることになる。
　んで、こうなるんです。

• 青色ヨコ列において、マスＡ, Ｂにしか数字８の入る可能性がなくなった。

　というわけで、青色ヨコ列ではＡ, Ｂ以外のマスから候補数字８を除去できます（青色×印）。

　２マスＢ, Ｃについても同様のことが言えます。
　前図3-5 の結果により、緑色ブロックにおいて３の入り得るマスはＢ, Ｃの２つに限定され、それ以外のマスから候補数字３を除去できます（緑色×印）。

　他も同様です。
　ＣとＤの属するタテ列では、ＣとＤ以外のマスから候補数字９を除去できます（紫色×印）。
　ＤとＥの属するヨコ列では候補数字５を除去（オレンジ色×印）、ＥとＡの属するタテ列では候補数字１を除去できます（赤色×印）。

　除去した候補数字、なんと15個！
　これが 図3-2 の結論 b. なんです。

　図3-4 では「マスＢに８が入らない場合、必ずマスＡに８が入る」ということを示しました。
　これは、次の結果をもたらします。

• ２マスＡ, Ｂの候補数字８は強いリンクで結ばれる。

　もともと、ＡとＢを結んでいたのは弱いリンクでした。
　しかし、強いリンクでも結ばれることになった。
　つまり、弱いリンクを強いリンクに置き換えても良くなったんです。
　同じ理由で、ＢとＣを結んでいる弱いリンクも強いリンクに置き換えできます。他の弱いリンクも同様です。

　なんと、み〜んな強いリンクになっちゃった！（図3-7）
　これが 図3-2 の結論 c. です。

　このように、ループ型の XY-Chain では見違えるほどの変貌を遂げます。そして、弱いリンクに関係して候補数字の大量除去が起こります（黒色×印）。
　ループ状のチェーンって、こんなにも盤面を変えてしまう。
　凄まじい威力だね😆