【コラム】Sue De Coq の一般化

　図1-1、青色ヨコ列と黄色ブロックがあり、それらが交差して緑色領域もありますね。
　この合計15マスが今回の舞台です。

　青色ヨコ列の９マスをまとめた集合を 集合Ｒ としましょう。
　黄色ブロックの９マスをまとめた集合を 集合Ｂ とします。
　便宜上、ヨコ列Ｒ・ブロックＢ とも言うことにしましょう。

　まずは、この緑色領域内部の２個以上のマスに注目します。
　図1-1 では３マス全部に注目し、それらをひっくるめて 集合Ｃ としておきましょう。
　集合Ｃの要素数は３です。

　集合Ｃの３マスには全５種類の候補数字がありますね。
　それらを全部集めた物を 集合Ｖ としておきます。
　Ｖ＝{ 2, 4, 5, 6, 7 } ですね。要素数は５です。

　ここで注意すべきことがひとつ。
　集合Ｃと集合Ｖの要素数、Ｖの方が２個以上多くなければいけません。
　図1-1 ではＣの要素数は３、Ｖの要素数は５です。
　これはＯＫですね。

　集合Ｃと集合Ｖを作ったところで、今度は、青色６マスと黄色６マスの中から空きマスを何個か拾っていきます。
　拾う個数は決まっています。|Ｖ|－|Ｃ|＋n 個です。

　うゎ、いきなり「ｎ」なんてのが出てきたぞ !?
　ｎって何だ？
　これは「集合Ｖにはない候補数字の種類数」を表すものです。
　原始的な Sue De Coq では「Sue De Coq を構成するどのマスも候補数字は集合Ｖの要素だけだ」という言い方ができるんですね。これは n＝0 の場合にあたります。
　しかし、一般的な Sue De Coq では、Ｖにはない候補数字を何種類か加えてもＯＫなんです。
　それを、ここでは 追加候補 と呼ぶことにしましょう。
　追加候補の種類数をｎで表します。

　前図1-1 からは候補数字 { 2, 4, 5, 6, 7 } だけだと Sue De Coq の形ができません。
　でも、追加候補９も考慮に入れてマスを拾うとうまくいきます。追加候補が１種類なので、n＝1 です。
　だから、|Ｖ|－|Ｃ|＋n ＝5－3＋1＝３個のマスを拾っていきます。

　さて。
　青色＆黄色領域からマスを拾う際、注意すべきことが３つあります。

1. どちらの領域からも必ず最低１個はマスを拾う。
2. 集合Ｖと追加候補のみを持つマスを拾う。
3. 青色と黄色の間で、集合Ｖの候補数字が重複しない。

　この３つに注意して３マスを拾った結果が 図1-3 です。
　３つの注意点をクリアしていますね。
　青色領域＆黄色領域、両方から拾っています。
　拾った３マスには { 2, 4, 5, 6, 7, 9 } 以外の候補数字はありません。
　集合Ｖの要素のうち、青色マスに含まれているのは { 2, 6 }、黄色マスに含まれているのは { 4, 7 }。まったく重複していません。

　さて、ここで集合を４つ定義します。
　青色領域から拾ったマスをひっくるめて 集合C_R、黄色領域から拾ったマスをひっくるめて 集合C_B としましょう。
　|C_R|＝1、|C_B|＝2 です。
　また、C_R には全２種類の候補数字がありますね。それらをまとめて 集合V_R としましょう。
　C_B の候補数字は全３種類です。同様に 集合V_B とします。
　V_R＝{ 2, 6 }、V_B＝{ 4, 7, 9 } です。

　結論を述べる前に、ちょいとひとつ。
　実は、この SDCパターン、大きな特徴が１つあるんです。

• どの候補数字ｋに対しても、ヨコ列ＲかブロックＢのどちらかはｋをすべて含んでいる。
• ｋが集合Ｃ内部にしかない場合、ヨコ列ＲもブロックＢもｋをすべて含んでいる。

　ちょいと検証してみましょう。
　候補数字２は C と C_R にしかありません。つまり、２はすべてヨコ列Ｒに存在しています。
　また、候補数字４は C と C_B にしかありません。４はすべてブロックＢに存在しています。
　候補数字５は C にしかありません。５はすべてＲにもＢにも属しています。
　追加候補９は C_B にしかなく、すべてＢに属しています。
　候補数字６, ７も同様です。
　なんと、どの候補数字に対しても、ヨコ列ＲまたはブロックＢがそれをまるごと含んでいるんですね。

　なぜそうなるんでしょう？
　それは、図1-3 の iii. のおかげです。C_R と C_B の間で集合Ｖの要素が重複していないからなんです。

　この特徴を知ったところで、いよいよ結論です。
　こうなります。

• 候補数字ｋをまるごと含む列ＲまたはブロックＢにおいて、SDCパターンの外にあるマスから候補数字ｋを除去できる。

　図1-5 だと、×印の候補数字が該当します。
　例えば、候補数字２はすべてヨコ列Ｒに存在していました。
　ヨコ列Ｒにおいて、C・C_R 以外のマスから候補数字２を除去できるということです（青色×印）。
　また、候補数字４はすべてブロックＢに存在していました。
　ブロックＢにおいて、C・C_B 以外のマスから候補数字４を除去できます（黄色×印）。
　候補数字５はＲにもＢにも属しているから、C・C_R・C_B 以外のマスから候補数字５を除去できます（ピンク色×印）。
　他の候補数字も同様の除去ができます（黒色×印）。

　なんと、大量12個も除去できた！
　なぜ、こういう結論になるんだろう？
　それを説明しましょう。

　実は、SDCパターンはマスの個数と候補数字の種類数が同じです。
　図1-6 だと６個と６種類。
　同数であるおかげで、次が成り立つようになるんです。

• ６種類の数字 2, 4, 5, 6, 7, 9 は SDCパターンの各マスに１個ずつ入る。

　なんと、６人が仲良く１部屋ずつルームシェアするというのです！
　なぜなのか？　それを説明しましょう。

　とりあえず、次が成り立つことは言えます。

• SDCパターンの６マスには、数字 2, 4, 5, 6, 7, 9 は１個までしか入れられない。

　これは、図1-4 で示した特徴のおかげです。
　例えば、候補数字２はヨコ列Ｒにしか存在していません。ということは、数字２を１個入れたらもう他のマスには２を入れられません。
　候補数字４はブロックＢにしか存在していません。ということは、数字４を１個入れたらもう他のマスには４を入れられません。
　他も同様です。
　すべて「１個まで」なのです。

　１個まで。
　ということは、「０個」の可能性は一応ある。
　さて、０個って……実際あり得るんだろうか？

　結論から言うと、あり得ません。
　例えば、仮に候補数字２が１個も入らなかったとしましょう。
　すると、残り５種類の数字 { 4, 5, 6, 7, 9 } で６マス全部を埋めきらないといけません。
　しかし、それは無理です。だって、６個めのマスに入れる数字がないんだもん！　「１個まで」ですからね。
　これは破綻です。

　というわけで、０個はあり得ない。
　どの候補数字も必ずキッチリ１個ずつ入るんです。

• SDCパターンの６マスには、数字 2, 4, 5, 6, 7, 9 は１個ずつしか入れられない。
  言い換えると、どの数字も６マスのどこかに必ず入る。

　どの数字も６マスのどこかに必ず入る。
　これが判明すればもぅ結論は近い！
　ヨコ列ＲとブロックＢから除去される候補数字があります。
　図1-8 の×印です。

　例えば、候補数字２。
　数字２は C と C_R のどちらかに必ず入ることが約束されました。
　よって、C・C_R 以外の青色マスから候補数字２を除去できます（青色×印）。

　数字４は C と C_B のどちらかに必ず入ることになります。
　よって、C・C_B 以外の黄色マスから候補数字４を除去できます（黄色×印）。

　候補数字５は C にしかないから、青色＆黄色マスから除去できます（ピンク色×印）。
　他の候補数字でも同様に除去が起こります（黒色×印）。

　図1-5 の結論通りになりましたね😊
　なんと、12個もの大量除去になった！

　まず、今までに出てきた集合のおさらいです。

• R：青色ヨコ列の９マス。
• B：黄色ブロックの９マス。
• C：緑色の３マス。
• C_R：集合 R＼C から拾った１マス。
• C_B：集合 B＼C から拾った２マス。
• V：C 内部にある候補数字＝ { 2, 4, 5, 6, 7 }。
• V_R：C_R 内部にある候補数字＝ { 2, 6 }。
• V_B：C_B 内部にある候補数字＝ { 4, 7, 9 }。

　マスについては 図1-9 の通りです。
　この図から話を進めていきます。

　あっ。
　説明の前に「SDCパターンにおいて数字 2, 4, 5, 6, 7, 9 は６マスのどこかに１個だけ入る」ということを思い出しておきましょう😊

　まず、集合 C のマスに必ず入るのは「Ｃにしかない候補数字」です。
　具体的には５ですね。
　これは、V のうち V_B にも V_R にもない物なので、V＼(V_B ∪ V_R) で表せます。

　次に、集合 C_B に注目します。
　２マスに対して候補数字が３種類ありますね。１個多い。
　ということは、３種類のうち１つは C_B に入れることができません。
　じゃぁ、どこに入るのか？
　C しかないんですね。
　というわけで、V_B にある数字のうち１個が C に入ります。
　一般には「|V_B|－|C_B| 個の数字が C に入る」と言えます。

　集合 C_R の場合も同様です。
　１マスに対して候補数字は２種類。１個多い。
　V_R にある数字のうち１つが C に入ります。
　一般には「|V_R|－|C_R| 個の数字が C に入る」と言えます。

　ブロックＢにおいて、候補数字の除去対象となるマスは黄色マスでした。
　これらは「黄色ブロックＢから C と C_B を除いたもの」です。
　だから B＼(C ∪ C_B) で表せます。
　そして、除去される候補数字 { 4, 5, 7, 9 } はすべて黄色ブロックに関わっています。
　その中に V_B の候補数字がまるごと含まれているのは当然ですが、V の候補数字のうち V_R 以外のもの（例えば候補数字５）も含まれます。
　だから V_B ∪ (V＼V_R) で表せます。
　よって、「集合 V_B ∪ (V＼V_R) に属する候補数字を集合 B＼(C ∪ C_B) のマスから除去できる」と言えるわけですね。

　ヨコ列Ｒも同様です。
　「集合 V_R ∪ (V＼V_B) に属する候補数字を集合 R＼(C ∪ C_R) のマスから除去できる」となります。

　余談ですが、追加候補は V_B＼V と V_R＼V で表せます。
　V_B＼V＝{ 9 }、V_R＼V＝∅（空集合）です。