1.この16マス達に秘密あり!
図1-1 を見てみましょう。
まぁ普通の完成図です😅
これでもかと言うほど皆さんが見てきたヤツです。
ここで、緑色と青色、2つの領域に注目しましょう。
両者の位置関係は以下の通り。
正確な説明は 図1-3 で補足しますが、今は 図1-1 の形で説明しましょう。
- 緑色領域は4ブロックに分かれ、四隅の位置に4個ずつ矩形状に並んでいる。
- 青色領域は上下左右端から3列目に存在し、5×5サイズで「□」を描くように並んでいる。
- 緑色マスの属する列に青色マスは1つも存在しない。逆も同様。
- 緑色領域の属する4つのブロックには青色マスが1個ずつ存在する。
- どちらの領域も16マスでできている。
実は、図1-1 の緑色&青色の領域には大きな秘密があるんです。
その秘密とは一体何でしょう?
中の数字達を調べると、何かに気付くかもしれない……。
実は、こういう関係があるんです。
- 緑色領域と青色領域、中に入っている数字は完全に同じである。
なんと、メンバーがピッタリ同じだという!
これ、本当です。
数字1〜9それぞれ数え上げてみるとわかります。
2つの領域のメンバー16人は完全に一致しているんです。
しかも、これは 前図1-1 だけの話ではありません。
すべての完成図に言えることなんです。
ナンプレアプリや専門誌など、完成図を見たら確認してみてください。
マジで完全に同じメンバーよ!?
ちなみに、これは証明できます。
証明は別のページに譲るとしましょう。
緑色と青色の位置関係からして、どう見ても数字に関係性がありそうには思えない。
だから、この関係性は逆に意外かもしれませんね。
いやはや、ナンプレにはまだまだ面白い性質があるものです☺️
ナンプレは、タテ列やヨコ列などを多少入れ替えても本質的には変わりません。
だから、図1-1 のような形だけではなく、図1-3 などの形でも同じことが言えます。
「同じメンバー16人」という関係は盤面のそこかしこに存在する。
驚きの性質です。
2.実際に使ってみよう!
前セクションで示した性質、これが解法 Phistomefel's Theorem の核となって話は進んでいきます。
領域2つとメンバー16人、これが大事です。
……が、実は残念なお話がありまして。
この性質、役に立ちにくいんです。
なぜなら、単に「どっちの領域もメンバーは同じだよ〜😃」と言ってるだけだから。
メンバーの具体的な内訳を教えてくれるわけではないし、領域内のどのマスにどのメンバーが入るのかも教えてくれない。
マスに数字が確定しないし、候補数字も削れない。
解いてる最中の方々にとって、有益な情報にならないんですね。
ただ、2つの領域が数字で埋まるたびにメンバーの一部が露わになっていくことは確か。
そして、数字が埋まれば埋まるほど、メンバー達の全容が明らかになっていく。
そうなれば、この性質の使いどころがやって来そうだ。
例えば、こ〜んな盤面はどうだろう?
図2-1 を見てみましょう。
2つの領域に入っているメンバーは……、
- 緑色領域には8個の偶数が入っている。
- 青色領域には8個の奇数が入っている。
こういう状況です。
これを見て、皆さんは大きな事実に気が付いたでしょうか?
……あれ?
メンバー16人、もぅ全員揃ってるじゃん!
そうです。勢揃いしたんです。
緑色領域にある偶数8個 + 青色領域にある奇数8個。
この16個が全メンバーだ!
というわけで、結論はこうなりました。
- 残りすべての緑色マスに奇数が確定する。
- 残りすべての青色マスに偶数が確定する。
図2-2 のように、両方の領域から候補数字がボロボロ除去される。
メンバー以外はサヨウナラ〜、というわけです。
もぅもぅ盤面がバツだらけ!
2つの領域が協力してメンバー達の正体を明かし、展開が大きく進んでいきました。
あとは簡単に解き進められます。
領域達が見事に連携して大成功を収めちゃいましたね😄
一方の領域に入った数字は必ず他方の領域にも入る。
この2つの領域の合わせ技が解法 Phistomefel's Theorem の大きな武器です。
この解法の使い方がちょっと見えてきた。
うまく領域を2つ選んで、なんとかメンバー16人を捕まえたいね!
16人とまでは言わずとも、なるべく多く捕まえたいものです。
まだ見ぬメンバーについては、2つの領域内の候補数字を照らし合わせれば正体を絞り込めそう!
3.サムナンプレで輝く解法だった !?
ここからは余談です。
解法 Phistomefel's Theorem は、2つの領域が相互に協力して話を進めていきました。
意外な位置関係というのも相まってか、「ナンプレを解く」という視点では非常に面白い解法です。
実際、『Logic Masters』というドイツのナンプレサイトでは、傑作 Classic Sudoku(001) が2020年8月に発表されています。
前セクション2の実例は、私がこの傑作のロジックを真似て作った物です。
しかし、逆に「ナンプレを作る」という視点になるとこれが一変してしまう。
この解法を仕込むのは非常に難しいんです。
盤面を見ると、緑色領域が4つのブロックを半分くらい占拠しちゃってる。
これが裏目に出ているのか、せっかくの仕込みがすぐに壊れてしまうんです。
解法 Phistomefel's Theorem を使わせる問題を作る時、真っ先に思い付くロジックはおそらく「緑色に入った数字は青色にも入るよ〜!」でしょう。
例えば、図3-1。
緑色領域に数字8を全部置いて「さぁ青色領域に数字8が4つも入るぞ〜!」と解き手に促す。
で、その数字8を解き手に見つけてもらうために、青色領域をテキトーに埋めて盤面中央にも数字8を置く。
さぁ青色領域では★マスにしか8が入らんようになったぞ!
Phistomefel's Theorem で数字8を見つけてね〜😃😃😃
ところが!
この仕込みは空振りに終わるんです。
なぜなら、緑色青色に関係なく初歩的解法 Hidden Single で数字8が全部判明しちゃうから。
トホホな結末だ🥺
こういうふうに、安直な仕込みでは解き手に気付いてもらえない。
この解法、なかなか仕込みどころが難しいんです。
スタンダードなナンプレだと、Phistomefel's Theorem の上手な使い方はなかなか見つかりません。
そこで、バラエティナンプレに目を向けてみる。
サムナンプレや足し算アローナンプレなどでは、合計値を利用して数字を制限することができますね。
これを利用して相手の領域にも制限を伝播させよう!
そういう仕込み方があるんです。
詳しくは 図3-2 にて。
解法 Phistomefel's Theorem は、『Logic Masters Forum』というナンプレフォーラムの Neuer (?) Fund über Sudoku-Geometrie というスレッドから生まれました。
名前の通り、発案者は Phistomefel 氏。
氏はナンプレ盤面を考察していたところ、緑色&青色領域の関係性を発見したそうです。
最初は両領域に入るメンバーの合計が等しいことに気付き、後にメンバーそのものが同じだと気付いた。
その話をしたところ「この解法はサムナンプレでは有望に見える」といったコメントが返ってきたようで、後に氏は自作のサムナンプレを投稿しています。
スレッドの後半になると、緑色&青色領域の関係を一般化させた話も現れた。
ナンプレ盤面をラテン方陣とみなして、数学の「合同式」を交えた難しめの話が展開されています。
その投稿では、その一般論を利用して X-Wing や Swordfish にも触れていました。
Phistomefel's Theorem と Fish 系解法は意外なところで繋がっていた !?
またひとつ、ナンプレの面白さが見つかった🥰
いや〜、そのスレッドに私も感化されちゃいましてね。
Phistomefel's Theorem をサムナンプレに仕込んでみたくなったので、ちょいと作ってみましたよ😃
わかりやすく四隅に合計枠をあしらって、いかにも「使え」と言わんばかりの問題です。
この問題のキモは、もちろん緑色領域にある合計枠。
緑色領域にはすべて6以下の数字しか入れられないことがわかり、青色領域もすべて6以下の数字に制限される。
となると、合計値15の枠が最初のカギになる。
次は合計値9の枠と4国同盟。
また、四隅緑色のどの小領域にも数字1と2が必ずどこかに入ることが後にわかります。だから、中央ブロック以外の白色マスには1も2も入らなくなります。
他にもいろいろ仕込んでみました😊
あっ。
あくまで例題として作ったので、面白さは保証しません。
難易度は上級レベルで、地道にゴリゴリ進む解き味。少なくとも軽やかには解けません(……と逃げを打つ😅)。
たしかに、解法 Phistomefel's Theorem は数字に制限を強いるナンプレで輝けると思いました。
サムナンプレはもちろん、1つ違いナンプレ、足し算アローナンプレ、偶数奇数ナンプレ、サーモナンプレなどもいけそう!
アウトサイドナンプレだと緑色領域にヒントが集中しそうだから、工夫の余地アリか。
なんだか面白い解法になりそうだ。
もしバラエティナンプレの超上級問題を作る機会が来たら、この解法を取り入れてみようかな😃
参考・参照
- The New Sudoku Players' Forum, 『Phistomefel's Theorem』,
http://forum.enjoysudoku.com/phistomefel-s-theorem-t38410.html - Logic Masters, 『Classic Sudoku(001)』,
https://logic-masters.de/Raetselportal/Raetsel/zeigen.php?id=000474 - Logic Masters Forum, 『Neuer (?) Fund über Sudoku-Geometrie』,
http://forum.logic-masters.de/showthread.php?tid=1811
更新履歴
- 2024. 4. 9.
- 新規公開。