【解法】Pattern Overlay Method

　ナンプレを解いていると、マスが数字で埋まっていきますね。
　そして、空きマスがどんどん少なくなっていく。
　空きマスを全部なくせば完成ですが、当然、途中過程は必ずあります。
　空きマスが少し残っている状態ですね。

　例えば、数字１の入り得るマスが 図1-1 みたいに20カ所程度残っている。
　途中過程でこういった状況は毎回あるわけですね。

• 盤面全体において、数字１は★マスにしか入らない。

　パッと見だと、これだけでは数字１の確定するマスは見つからなさそう。
　でも、実は、数字１に関していくつか判明するんです。
　果たして、何がどう判明するんでしょう？

　数字１のパターンは全部で４通り。図1-2 です。
　ａ〜ｄと名前を付けておきましょう。すぐ後の 図1-4 で使います。
　ここからこの４パターンを見て考察していきます。

　これらのパターンを見てみると、数字１が入っているマスもあれば、数字１の入っていないマスもありますね！
　……って、何を当たり前なこと言ってるんだ😓

　まぁそれはおいといて。
　さらに次のようなことに気付いたりすると、また見え方が違ってくるかもしれません。

そういや、一度も数字１の入らなかった★マスがチラホラあるなぁ。

　これに気付けば、解法 Pattern Overlay Method の基礎は半分理解できたようなもの。
　実は、この解法のキモはそういったところにあるんです。

　では、結論を言いましょう。
　結論は２つあります。

1. どのパターンにも数字１が現れなかった★マスには、数字１は入らない。
2. どのパターンにも数字１が現れた★マスには、数字１が確定する。

　図1-3 だと、a. に該当するのは赤色マスです。
　b. に該当するのは青色マスです。
　赤色マスに数字１は絶対に入りません。
　青色マスに数字１が確定します。
　数字１に関して、７マスに影響が出るというわけです。

　なぜこういう結論になるのか？
　それを説明していきましょう。

　全パターンをもう一度示して説明することもできますが、ここでは別の方法で説明してみます。
　図1-2 で４パターンａ〜ｄを紹介しましたね。
　数字１の入った★マスにａ〜ｄをメモしてみます。

　パターンａの中で数字１のあるマスに「ａ」をメモする。
　ｂ, ｃ, ｄも同様にメモしていく。
　すると、図1-4 の通りになりました。
　この時、次のことに気付きます。

• 赤色マスにはメモがまったくない。
• 青色マスはａ〜ｄすべてメモされている。

　ナンプレが完成した時、数字１はパターンａ〜ｄのどれか１つの形に配置されることになります。
　しかし、ａ〜ｄのどれが採用されようとも赤色マスに数字１が入ることは絶対にないんですね。そして、青色マスには数字１が必ず入ることになるんです。
　ということは、「赤色マス≠１」「青色マス＝１」の２つはもう既に保証されているわけなんですね。

　図1-3 の結論通りになりました😊
　これが Pattern Overlay Method という解法です。

　空きマスの数が少ない方が Pattern Overlay Method を使いやすいです。
　だから、終盤の盤面（図2-1）で解説しましょう。
　……とか言っといて、全然終盤じゃないじゃん😅
　あ、いやその、数字７に関しては終盤を迎えつつあります😅

　図2-1 の時点では、もぅ数字７の入るマスがかなり少なくなっています。
　そこで、Pattern Overlay Method で７の場所を突き止めてみます。

　まずは、７の入り得るマスを洗い出しましょう！

　数字７の入り得る場所は★マスです（図2-2）。
　たったの10カ所！

　見るからにこぢんまりとした分布ですね。
　特に、★マスを２個しか持たないタテ列・ヨコ列・ブロックが多い。
　これがすごく大きくて、おかげでパターン数はグッと絞られます。

　さぁ結論です。
　図2-2 からはこうなります。

• ４マスに数字７を入れられなくなる。
• ２マスに数字７が確定する。

　図2-3 だと、赤色＆青色の６マスが該当します。
　赤色マスに数字７を入れられなくなります。
　青色マスに数字７が確定します。

　これは、全パターンを挙げれば一発でわかります。
　早速挙げてみましょう！

　実は、数字７の入れ方はたった２通りしかありません。
　図2-4 の通りです。

　この２パターンを見れば一目瞭然ですね！
　赤色マスには数字７はまったく入っていないし、青色マスには必ず数字７が入っている。
　図2-3 の結論通りになりますね😊

　マスが少なくて分布がこぢんまりとしていると、２〜３パターンで済んだりします。
　そのくらいだと、人によっては頭の中だけで処理できるかもしれませんね。

　うまく Pattern Overlay Method が使えましたね！
　もぅちょっと解き進めてみましょう。

　数字７を入れた後、タテ列やブロックを見れば他のマスにも容易く数字が入っちゃいますね😄

　……と、本題の前に前準備をひとつ。
　前セクションで使った盤面をもう一度見てみましょう（図3-1）。
　これを候補数字の視点で軽く考察します。

　前セクションでは、候補数字７を持つ10マスに注目して「青色マスに７が確定する」と結論づけました。
　これは、他の候補数字からの視点では「マスＡには２も６も入らない」といったことも言えるわけですね。

　図3-1 では数字６の入り得る場所は 20マスほどあるから、６の入れ方のパターンは数多くあります。
　その中には、マスＡに６の入るパターンも含まれている。
　ところが、マスＡに６は入れられなくなった。
　ということは、数字６のパターンはその分減ることになるんですね。

　つまり、数字７のパターンによって数字６のパターンが減らされたと言えるわけです。

　新しい盤面を用意しましょう。
　図3-2 です。

　この盤面では２つの数字１と９に注目します。
　そして、各数字の入れ方のパターンを洗い出してみます。
　候補数字１と９は 図3-2 の黄色エリア内部に分布しているので、これらの配置を基にパターンをそれぞれ全部見つけましょう。

　詳細は省きますが、数字１も９もパターンは５個ずつ見つかります。
　数字１の方はＡ〜Ｅ、数字９の方はａ〜ｅと名付けておきましょう。

　次は、その見つけた全10パターンを基に盤面にメモしていきます。
　パターンＡの中で数字１のあるマスに「Ａ」をメモします。
　パターンＢの中で数字１のあるマスに「Ｂ」をメモします。
　Ｃ〜Ｅも同様にメモします。
　パターンａの中で数字９のあるマスに「ａ」をメモします。
　ｂ〜ｅも同様にメモします。

　要は 図1-4 と同じことをやるわけです。
　すべてメモすると 図3-3 のようになりました。

　さて、メモをしたはいいものの……。
　ここから先、何をすればいいんでしょう？

　大文字小文字の両方を持つマスに注目しましょう。
　例えば、緑色２マス（図3-4）。
　この２マス全体を見ると、Ａ〜Ｅがすべて現れていますね。
　となると、こういうことが言えるんです。

• 緑色２マスのうち少なくとも１つには数字１が入る。

　理由は簡単です。
　数字１のパターンはＡ〜Ｅの全５種類だからですね。
　その５種類のどれが採用されようとも、緑色マスのどちらかには必ず数字１が入ることになるんです。

　緑色２マスの少なくとも一方には数字１が入ります。
　言い換えると、「緑色マス全部を数字９で埋め尽くす」ことは不可能になりました。
　そうなると、数字９についてこんなことが判明するんです。

• パターンａ, ｂ, ｅはすべて却下される。

　なんと！
　５つあったパターンから３つも消え去り、ｃとｄの２つしか残らなくなるんです。
　数字９のパターンが減ってしまう！

　なぜ却下されるんでしょう？
　パターンａ, ｂ, ｅは緑色マス全部を数字９で埋め尽くす形をしています。
　ところが、その「数字９で埋め尽くす」は不可能だ。
　というわけで、パターンａ, ｂ, ｅが採用される可能性はもう完全に無いんです。

　パターンａ, ｂ, ｅはもう考慮から外します。
　盤面からａ, ｂ, ｅをすべて消しちゃいましょう。

　数字９のパターンは５つから２つに減りましたね。
　まさに数字１のパターンによって数字９のパターンが減らされてしまった恰好。
　しかし、ここで数字９に新たな展開が起こるんです。

　まずは赤色マス。
　ａ, ｂ, ｅがすべて消え去った今、赤色マスにメモａ〜ｅは消滅してしまいました。
　次に青色マス。
　もともと青色マスにはｃもｄもメモされていましたが、今や数字９のパターンはｃ, ｄの２種類しかありません。

　では、結論を発表しましょう。
　こうなるんです。

• 赤色マスに数字９を入れられなくなる。
• 青色マスに数字９が確定する。

　いきなり言っちゃいますが、Pattern Overlay Method という解法は人間の手に負えるシロモノではありません。
　それはそれは凄まじく手間がかかるからなんです。

　ま、これはすぐに想像つきますよね。
　なんたって、特定の数字の入り方を全パターン挙げるわけですもん。
　空きマスが多ければ多いほど、パターンの数は膨れあがります。

　図4-1 は序盤も序盤、４マスだけ埋まっています。
　この段階で数字７の入り得る場所は★の位置。
　さて、この盤面で数字７の入れ方は何通りあるでしょう？

　数えてみたら 22通りでした。
　多すぎる😅
　こりゃぁ人力で全パターン挙げるのはシンドい……どころか発狂してしまう！

　Pattern Overlay Method がどれだけ手間のかかる解法か。
　それが垣間見えますね。

　究極の場合を考えてみましょう。
　完全にまっさらな盤面に数字Ｘを９つ入れてみる。
　入れ方の一例は 図4-2 ですね。
　果たして、数字Ｘの入れ方は全部で何通りあるんだろう？

　答えは 46,656通りです。
　46,656通り。
　声も出ません😵

　一応、９カ所のうち１カ所に数字Ｘが確定するだけで 46,656通りから 5,184通りに減るんだけれど、それでも数がバケモノじみてます。
　９分の１に減ったというのに、それでも気が遠くなる😓
　ラスボスが側近になったくらいの数かな。
　でも、HP：5184 の側近に立ち向かえる勇者はこの世にいるんだろうか。
　5184ターンも必要なんですが😅