【解法】Multi-Colors

　ある列やブロックにおいて、数字ｎの入り得るマスが２つしかないとします。この時、その２マスは 数字ｎについて双対（そうつい）である と言うことにしましょう。あるいは、単に 双対である と言うことにします。
　例えば、図1-1 において候補数字１に注目すると、２マスＡ, Ｂは双対です。Ｂ, Ｃも双対ですね。Ｃ, ＤもＢ, Ｅも双対です。

　ここでは、双対である２マスに色付けをします。
　その際、次のルールに従って２色を割り当てていきます。

1. 双対である２マスには異なる色を割り当てる。
2. ある１マスが複数のマスと同時に双対である場合、相手のマスすべてに同じ色を割り当てる。

　候補数字１に対して a. b. を適用してできたのが 図1-1 です。
　a. の例としては、双対な２マスＡ, Ｂには異なる色が割り当てられています。双対な２マスＢ, Ｃも色が異なります。他も同様です。
　b. の例としては、マスＢと双対な３マスＡ, Ｃ, Ｅにはどれも同じ色が割り当てられています。マスＣと双対な２マスＢ, Ｄも同じ色が割り当てられています。

　なぜ、こういうルールで２色を割り当てるんでしょう？
　それは、双対である場合、次の２つが必ず同時に成り立つからです。

• 一方のマスに数字１が入る。
• 他方のマスに数字１は入らない。

　この「２つが必ず同時に成り立つ」というのがミソで、２色を割り当てることで 一方/他方 を可視化させるというわけです。

　さて、双対である２マス同士を線で結んでみると、図1-2 のようにひとつながりの図形ができあがります。
　これを クラスター と呼びます。
　図1-2 では、数字１について緑色＆薄緑色・全11個のマスからなるクラスターができました。

　ちなみに、クラスターには「房」「群れ」といった意味があります。
　海外のサイトでも cluster という用語を使ったりしています。

　さて、前図1-2 のクラスター、何のために作ったのか？
　こういう結論を得るためです。

• どちらか一方の色付きマス全部に数字１が入る。

　具体的に言うと、次のどちらかが必ず成り立つということです。

• 緑色マス全部に数字１が入る。
• 薄緑色マス全部に数字１が入る。

　なぜ「全部」なのかというと、緑色マスと薄緑色マスは双対の関係にあるからです。
　クラスター上のとある１マスに数字１が入るか否かが判明した時、双対の関係によって他のすべてのマスも数字１が入るか否かが次々と波及していきます。
　そして、ものの見事に色分けした通りに「１が入る/１が入らない」に二分されるという結果になるんです。

数字１が入るのは緑色？　それとも薄緑色？

　この２択に帰着できる。
　これが色付けの最大の意味なんです。

　図2-1 の盤面、ここから Multi-Colors で解き進めていきます。
　まずは、クラスターを作っていきましょう！

　候補数字４のクラスターを作ります。
　クラスターは２つできます。
　緑色＆薄緑色のクラスター、青色＆水色のクラスターで表すことにしましょう。

　クラスターを作った結果が 図2-2 です。
　緑色系のクラスターと青色系のクラスター、２つできました。
　それぞれのクラスターで双対の関係を確認してみてください。

　さて、図2-2 には大きな特徴が１つあります。
　それは、「水色マスＡと薄緑色マスＢが同じタテ列に属している」ということです。
　異なるクラスターの２マスＡ, Ｂが同じ列に属しているんですね。

　この場合、果たしてどんなことが成り立つんでしょう？

　こういう結論になるんです。

• 緑色マス・青色マスの両方と列やブロックを共有しているマスがある。そのマスに数字４は入らない。

　図2-3 だと赤色マスが該当します。
　例えば、タテに２つ並んだ赤色マスは緑色マスとブロックを共有し、青色マスとタテ列を共有しています。
　他の２マスも両方の色と列を共有しています。
　この４マスに数字４を入れられなくなるんです。

　なぜ、こういう結論になるんでしょう？
　それは、緑色と青色の少なくとも一方に数字４が入ることになるからです。
　それを説明しましょう。

　まず、クラスターについて、前セクションで述べた結論を忘れてはいけません。
　つまり、次の２つが両方とも成り立つんです。

• 緑色マス全部または薄緑色マス全部に数字４が入る。
• 青色マス全部または水色マス全部に数字４が入る。

　２マスＡ, Ｂは同じタテ列に属していて、両方に数字４を入れるということはできません。
　つまり、Ａ, Ｂの少なくとも一方に数字４は入らない。
　Ａに４が入らない場合は水色マス全部に４は入らない。青色マス全部に４を入れるしかない。
　Ｂに４が入らない場合は薄緑色マス全部に４は入らない。緑色マス全部に４を入れるしかない。
　結局、緑色と青色の少なくとも一方に４が入ることになるんです。

　そうなると、緑色＆青色両方と列やブロックを共有しているマスに影響が出るようになります。
　例えば、マスＸです。

　マスＸの右には緑色マスがあり、真下には青色マスがありますね。
　その２マスのうち少なくとも一方には数字４が入るのだから、マスＸには４を入れることはできない。
　こういうことになるんです。

　他のマスも同様です。
　結局、赤色４マスの候補数字４がすべて除去されるんですね。
　図2-3 の結論通りになりましたね😊

　図3-1 の盤面、ここから Multi-Colors で解き進めていきます。
　まずは、クラスターを作っていきましょう！

　今度は候補数字８のクラスターです。
　２つできます。
　緑色＆薄緑色、青色＆水色のクラスターで表すことにします。

　クラスターを作った結果が 図3-2 です。
　緑色系のクラスターと青色系のクラスター、２つできました。
　それぞれのクラスターで双対の関係を確認してみてください。

　さて、図3-2 には大きな特徴が１つあります。
　それは、緑色マスが次の２つを満たしているということです。

• 緑色マスＡは青色マスＸと同じヨコ列に属している。
• 緑色マスＢは水色マスＹと同じブロックに属している。

　この場合、果たしてどんなことが成り立つのか……？

　結論はこうなります。

• 緑色マス全部に数字８は入らない。

　図3-3 だと、Ａ, Ｂを含む緑色３マスが該当します。
　その３マスに数字８を入れられなくなるんです。

　なぜでしょう？
　青色系のクラスターでは、青色マス全部または水色マス全部に必ず数字８が入るからです。
　つまり、マスＸ, Ｙのどちらかに必ず数字８が入るんですね。
　ということは、マスＡ, Ｂの片方には８を入れられません。

　よく見ると、マスＡもＢも緑色。
　そして、クラスターにおいて同じ色のマスは一蓮托生。「８が入る/入らない」を共にする。
　よって、緑色マス全部に数字８は入らないことになるんです。

　上記の結論通りになりましたね😊
　もちろん、薄緑色のマス全部に数字８が入ることもわかります。