【解法】Gurth's Symmetrical Placement

　図1-1 の盤面を見てみましょう。
　普通にパズル雑誌に載ってるような対称形の配置になってますね。

　この盤面、実は、さらに大きな特徴が隠れています。
　どんな特徴でしょう？
　もしかしたら、数字の配置を見て気付いた方々もいるかもしれません。
　例えば、「１と２」とか「７と８」とか……。

　実は、こういう特徴があります。
　盤面中央のマス（黄色）を中心に、この５つが成り立っているんです。

• 数字１と２は正反対の位置にある。
• 数字３と４は正反対の位置にある。
• 数字５と６は正反対の位置にある。
• 数字７と８は正反対の位置にある。
• 数字９は互いに正反対の位置にある。

　４個ずつある数字１, ２を線で結んでみました。
　おぉ、位置がことごとく正反対！

　位置がすべて正反対ということは、当然、数字１, ２のある８マスは全体で点対称になりますね。
　他の数字ペアも同様に点対称になっています。
　そして、盤面に４つある数字９は４マス全体で点対称。
　対称形には美しさが潜んでいるけれど、ここまで完全な点対称だともぅ完璧な配置だと言っても過言じゃぁありません。

　ちなみに、このナンプレは普通に解くことができます。
　完成図は 図1-3 の通り。

　実は、この完成図にも同じ特徴があるんです。
　盤面中央のマスを中心に……

• 数字１と２は正反対の位置にある。
• 数字３と４は正反対の位置にある。
• 数字５と６は正反対の位置にある。
• 数字７と８は正反対の位置にある。
• 数字９は互いに正反対の位置にある。

　完成図に至っても数字の位置がことごとく正反対なんですね。

　数字１, ２のある18マス（緑色部分）は全体で点対称になっています。
　他の数字ペアも18マス全体が点対称です。
　数字９は９マス全体が点対称。
　まさに完全点対称の配置をしているんです。

　盤面は前セクションの物を流用しちゃいます。
　状況をおさらいしましょう。
　盤面中央のマスを中心にこういうことが成り立っています。

• 数字１と２は正反対の位置にある。
• 数字３と４は正反対の位置にある。
• 数字５と６は正反対の位置にある。
• 数字７と８は正反対の位置にある。
• 数字９は互いに正反対の位置にある。

　例えば、２マスＸ, Ｙは互いに正反対の位置にありますが、その２マスにちょうど１と２が入っています。

　さて、この盤面が持つ重要な性質を紹介しましょう。
　その性質とはこれです。

• 必ず２マス同時に数字が確定する（盤面中央のマスは除く）。
  しかも、その２マスは相棒同士であり、確定する数字も相棒同士である。

　例えば、数字１からレーザーを飛ばすとマスＡに１が確定しますね。
　それと同時に、数字２からレーザーを飛ばすとマスＢに２が確定するんです。

　なぜでしょう？
　それは、数字１, ２が相棒同士だからです。
　数字１から飛ばした青色レーザーを180°ひっくり返せば、赤色レーザーに一致するんです。
　そのレーザーがちょうどマスＢの数字確定に役立っているんですね。
　もちろん、２マスＡ, Ｂは相棒同士です。

　ちなみに、青色レーザーと赤色レーザーも相棒同士です。
　なんと、レーザーにまで相棒が現れよった！

　その結論とは……？

• 自分自身が相棒になっている数字が盤面中央のマスに確定する。
  あるいは、盤面に１つも存在しない数字が盤面中央のマスに確定する。

　図2-3 だと、数字９が該当します。
　９以外は他の数字と相棒になっていますが、数字９だけは自分自身が相棒になっていますね（図2-3 黄色マス）。
　その数字９が中央マスに確定するというわけです。

　なぜ、こういう結論になるんでしょう？
　それを説明しましょう。

　この盤面では、相棒同士のマスには相棒同士の数字が入るのでした。
　図2-2 で２マスＡ, Ｂに数字１, ２が入ったように。
　このことが盤面中央のマスに大きく影響していくんです。

　中央マスに数字１, ２, ５, ６が入らないことは簡単にわかります。
　じゃぁ、例えば数字３が入ったと仮定しましょう。
　すると、相棒のマスには数字４が必ず入ることになりますね。
　……だけど、中央マスの相棒ってどのマスでしたっけ？

　そうです。相棒は中央マス、自分自身です。
　ということは、中央マスには３も４も入るということになってしまう！
　うゎ、こりゃぁ不合理だ😣

　というわけで、中央マスに数字３はＮＧとなった。
　もちろん、数字４, ７, ８もすべて同じ不合理を引き起こします。
　結局、中央マスには数字９しか入れられないんですね。

　図3-1 の盤面で説明していきます。
　あっ。
　この盤面、前セクションの盤面を裏返しにして数字を入れ替えただけです。
　手抜きでゴメンなさ〜い😅

　ここでは、とあるマスに注目して解き進めていきます。
　そのマスは……もちろん盤面中央のマスです。

　盤面の数字を確認してみましょう。

• 数字１と４は相棒同士である。
• 数字２と６は相棒同士である。
• 数字３と９は相棒同士である。
• 数字５と８は相棒同士である。
• 数字７は自分自身と相棒同士である。

　ものの見事に Gurth's Symmetrical Placement の使える配置です。
　さぁ、盤面中央のマスに入る数字は何でしょう？

• 自分自身が相棒になっている数字が盤面中央のマスに確定する。
  あるいは、盤面に１つも存在しない数字が盤面中央のマスに確定する。

　そうです。
　数字７なんです。

　うまく Gurth's Symmetrical Placement が使えましたね！
　もぅちょっと解き進めてみましょう。

　数字７からレーザーを飛ばしてみましょう。
　なんと、緑色４ブロックすべてに数字７が判明しました！

　７の配置が配置だから、まぁレーザーの跡がキレイなこと🥰
　まさに点対称のなせる技ですね！
　４方向すべてに役立つレーザーもなかなか珍しい。

　図4-1 の盤面、完全点対称の配置です。
　あ、セクション１の数字配置をテキトーに入れ替えただけということは内緒にしといてください😅

• 数字１と９, ２と８, ３と７, ４と６はそれぞれ相棒同士。
• 数字５は自分自身と相棒同士である。

　まず、候補数字の分布を見てみます。
　相棒同士の２マスについて何が言えるでしょうか？

　実は、候補数字も相棒同士の関係になっているんです。
　例えば、左上隅と右下隅のマス。
　左上隅が１, ６, ７, ８なら右下隅は９, ４, ３, ２。
　１⇔９, ６⇔４, ７⇔３, ８⇔２、相棒同士で４組のペアになっている！

• 盤面上のすべての候補数字に対して、相棒のマスに相棒の候補数字が存在する。

　盤面には全部で225個もの候補数字がありますが、そのすべてに相棒が存在するんですね。
　なんと、113組ものカップルができてます。凄ぇな。

　別のところにも目を向けてみましょう。
　青色ブロック、Ａの２マス。
　数字２, ５の２国同盟（Hidden）ができていますね。
　じゃぁ、相棒はどうでしょう？

　赤色ブロックの２マスＢ。
　おぉ、数字８, ５の２国同盟（Hidden）がある！
　しかも、２⇔８, ５⇔５、相棒同士で２組のペアができている！

• 盤面にｎ国同盟があれば、相棒の位置にもｎ国同盟がある。
  しかも、相棒の候補数字で同盟が構成されている。

　すごい。
　同盟すらも相棒が存在する！
　しかも、よく見ると対象となるブロックも相棒同士なんですね。
　ホント、何もかもが相棒だらけ。

　最後はちょっとした手筋をひとつ。
　以下の流れを軽く覚えておいてください。

1. 青色２列と黄色ブロックを見てみると、数字１は１１の５マスにしか入らない。
2. ここで、黄色ブロックに注目すると、そのブロックでは１のどこかに必ず数字１が入る。
3. よって、２マスＡ, Ｂの少なくとも一方に数字１は入らない。

　では、相棒はどうでしょう？

1. 赤色２列と黄色ブロックを見てみると、数字９は９９の５マスにしか入らない。
2. ここで、黄色ブロックに注目すると、そのブロックでは９のどこかに必ず数字９が入る。
3. よって、２マスＡ, Ｂの少なくとも一方に数字９は入らない。

　なんと、論理展開がまったく同じ！
　しかも、数字もマスもタテ列もヨコ列もブロックも、どれも 図4-3 の相棒ばっかりじゃぁないですか！

　実は、完全点対称の盤面では、何から何まで相棒が存在するんです。
　数字やマスだけではありません。論理展開途中に現れる列やブロックなんかも相棒が存在する。いや、それどころか、ｎ国同盟、強いリンク/弱いリンク、ALS など高難度な物でさえも相棒が存在するんです。

• 完全点対称の盤面には、本当に何から何まですべての物に相棒が存在する。

　スゴイよね。完全点対称って。