【解法】Empty Rectangle

　図1-1、青色ヨコ列とピンク色ブロックを見てみましょう。
　それぞれにおいて数字１の入り得るマスを探したら、●○▲の場所しかなかったとします。
　これらのマスには次の特徴があります。

• 青色ヨコ列において、数字１は●と○にしか入らない。
• ピンク色ブロックにおいて、数字１は▲の５カ所にしか入らない。
• ▲は十字型に並んでいる。
• タテに並んだ▲▲▲は●と同じタテ列に属している。

　この十字型というのがポイント！
　これが Empty Rectangle の最大の特徴です。

　さて、前図1-1 からはどういう結論が得られるんでしょう？
　こうなります。

• ○ ▲₁ ▲₂ の３マスと列を共有するマスが１つある。そのマスに数字１は入らない。

　図1-2 だと×印のマスが該当します。
　×印マスは○とタテ列を共有し、▲₁ ▲₂ とヨコ列を共有しています。
　このマスに数字１は入らないというわけです。

　なぜこういう結論になるんでしょう？
　それは、○ ▲₁ ▲₂ のうち少なくとも１つに必ず数字１が入るからなんです。
　それを解説しましょう。

　さて、青色ヨコ列では●と○のどちらかにしか数字１を入れられません。
　そこで、もし●に数字１が入った場合にどういうことが起きるんでしょう？

　５つの▲のうち３つの▲に数字１を入れられなくなります。
　残ったのは ▲₁ ▲₂ の２つだけ。
　そのどちらかに数字１が入ることになりますね。
　ただ、▲₁ ▲₂ の位置関係を見てみると……

• ▲₁ も ▲₂ も同じヨコ列に属している。

　ここがミソなんです。

　●と○のどちらかに必ず数字１が入ります。
　しかし、どちらに入ろうとも 図4-1 ×印マスに数字１が入らないという結末になっていくんです。

　検証してみましょう。
　○に１が入った場合は簡単ですね。
　青色矢印を見ればＯＫ！
　●に１が入った場合は 図1-3 の説明通りに話が進みます。
　▲₁ ▲₂ のどちらかに１が入るため、ピンク色矢印により×印マスに数字１を入れられない。

　というわけで、×印マスに数字１は入りません。
　図1-2 の結論通りになりましたね😊
　これが Empty Rectangle という解法です。

　図2-1 では、とあるマスに数字が判明します。
　それを Empty Rectangle で突き止めましょう。

　ここでは数字５に注目して、５の入り得るマスを探してみます。

　青色ヨコ列とピンク色ブロック、これが今回の Empty Rectangle の舞台です。

　この２つを調べると、数字５はどちらも数カ所にしか入れられません。
　青色の列では●と○の２つ。
　ピンク色のブロックでは▲の４カ所。
　図2-2 の通りです。

　●○▲の位置関係を見ると……まさに配置がピッタリ！
　▲はＴ字型！
　そして、▲▲●がヨコ並び！

　さぁ、舞台は整いました。
　あとは Empty Rectangle を使うだけ！

　では早速使ってみましょう。
　こうなります。

• 図2-3、×印のマスに数字５は入らない。

　理由を簡単に説明しましょう。
　●と○のどちらかに必ず数字５が入ります。
　○に入った場合は、青色矢印でＯＫ。
　●に入った場合は、必然的に２つの▲のどちらか（図2-3 左下の「5?」です）に５が入ることになりますね。
　この場合はピンク色矢印でＯＫ。

　というわけで、上記の結論が成り立ちます。
　×印のマスに数字５を入れられなくなりました。

　うまく Empty Rectangle が使えましたね！
　もぅちょっと解き進めてみましょう。

　図2-3 の×印マスを含む列やブロック全域に目を通すと、×印マスには５と７しか入れられないことがわかります。
　しかし、前図2-3 によって数字５も入らなくなりました。

　というわけで、そのマスに数字７が確定しちゃいました😄

　図3-1 を見てみましょう。
　青色ヨコ列、赤色タテ列、ピンク色ブロックがありますね。
　それぞれにおいて数字１の入り得るマスを探したら、こんな状況だったとします。

• 青色ヨコ列において、数字１は★と○にしか入らない。
• 赤色タテ列において、数字１は★と◇にしか入らない。
• ピンク色ブロックにおいて、数字１は▲にしか入らない。
• ★は青色＆赤色２列の交差箇所にある。
• ▲は十字型に並んでいる。
• タテに並んだ▲３個は○と同じタテ列に属している。
• ヨコに並んだ▲３個は◇と同じヨコ列に属している。

　上記では「十字型」と書きましたが、もちろんＬ字型やＴ字型でもＯＫです。

　従来の Empty Rectangle に赤色タテ列が増えました。
　これが Dual Empty Rectangle と呼ばれる形です。

　さて、前図3-1 からはどういう結論が得られるんでしょう？
　こういう結論になるんです。

• ★マスに数字１が確定する。
  さらに、２マス○◇に数字１が入らないこともわかる。

　２列に直接影響が出るんですね。
　数字まで確定しよった！

　なぜ、こういう結論になるんでしょう？
　それは、○と◇の少なくとも一方に１を入れられなくなるからなんです。
　それを解説しましょう。

　ピンク色ブロックの▲マスをＡ〜Ｅとしてみました。

　キーとなるのは、このピンク色ブロックです。
　Ａ〜Ｅの５マスにしか数字１は入りませんが、どこに１が入るかによって２マス○◇のどちらかに影響が出るんです。

　３マスＡ, Ｃ, Ｅのどれかに１が入った場合は、○に１は入りません。
　３マスＢ, Ｃ, Ｄのどれかに１が入った場合は、◇に１は入りません。
　というわけで、次のことが成り立つんです。

• ○と◇の少なくとも一方には数字１は入らない。

　○に数字１が入らなかった場合、青色ヨコ列を見れば★に１が確定します。
　そのあと、続けて赤色タテ列を見ると◇に１は入らないこともわかります。

　◇に数字１が入らなかった場合、赤色タテ列を見れば★に１が確定します。
　さらに、続けて青色ヨコ列を見ると○に１は入らないこともわかります。

　どちらにしても、★に数字１が確定するんですね。
　そして、○にも◇にも数字１は入らないことになるんです。
　図3-2 の結論通りになりました😊

　図4-1、青色ヨコ列、ピンク色＆オレンジ色ブロックを見てみましょう。
　それぞれにおいて数字１の入り得るマスを探したら、こんな状況だったとします。

• 青色ヨコ列において、数字１は△と◇にしか入らない。
• ピンク色ブロックにおいて、数字１は▲にしか入らない。
• オレンジ色ブロックにおいて、数字１は◆にしか入らない。
• ▲と◆は十字型・Ｔ字型・Ｌ字型に並んでいる。
• タテに並んだ▲３個は△と同じタテ列に属している。
• タテに並んだ◆３個は◇と同じタテ列に属している。
• ▲と◆がヨコ１列に６個並んでいる箇所がある。

　特に、最後の「ヨコ１列に６個並ぶ」というのが最大の特徴です。

　従来の Empty Rectangle にブロックがもう１個が増えました。
　これが Double Empty Rectangle と呼ばれる形です。

　さて、前図4-1 からはどういう結論が得られるんでしょう？
　こういう結論になるんです。

• ▲◆が６個並んでいるヨコ列において、▲₁ ▲₂ ◆₁ ◆₂ 以外の５マスに数字１は入らない。

　図4-2 だと、×印の５マスが該当します。
　このマスに数字１は入らないというわけです。

　なぜ、こういう結論になるんでしょう？
　それは、▲₁ ▲₂ ◆₁ ◆₂ のどれかに必ず数字１が入るからなんです。
　それを解説しましょう。

　青色ヨコ列では△と◇のどちらかに必ず数字１が入りますね。
　それぞれ話を進めてみましょう。

　まず、△に数字１が入った場合はどうなるか。
　ピンク色ブロックではタテ並びの▲に１は入らず、▲₁ ▲₂ のどちらかに必ず１が入ることになります（図4-3）。
　次に、◇に数字１が入った場合はどうなるか。
　今度はオレンジ色ブロックではタテ並びの◆に１は入らず、◆₁ ◆₂ のどちらかに必ず１が入ることになりますね。
　というわけで、次のどちらかが必ず成り立ちます。

• ▲₁ ▲₂ の片方に数字１が入る。
• ◆₁ ◆₂ の片方に数字１が入る。

　……ですが、実は、これはもっと簡単に書けたりする。
　こうなるんです。

• ▲₁ ▲₂ ◆₁ ◆₂ のどれかに数字１が入る。

　そうなると、数字１を入れられないマスが生じます。
　図4-4、×印の５マスです。

　▲₁ ▲₂ ◆₁ ◆₂ の４マスはすべてヨコ１列に属しています。
　そして、その４マスのどれかに必ず数字１が入る。
　となると、残りの５マスに数字１の入る可能性はなくなるんですね。

　図4-2 の結論通りになりました😊

　元々、「Empty Rectangle」は次の状況のことを言うんです。

• 数字ｎの入らない４マスがブロック内部にあり、それらが矩形状に並んでいる。この時、その４マスを empty rectangle と呼ぶ。

　図1-1 の盤面をもう一度（図5-1）。
　図1-1 では「ピンク色ブロックにおいて数字１は▲の５カ所にしか入らない」と状況説明しました。
　言い換えると、これは「▲以外の４マスに数字１は入らない」となりますね。

　そして、その４マスは矩形状に並んでいます。
　この４マスが empty rectangle なんです。

　empty rectangle の例をいくつか挙げましょう。

　数字１の入り得るマスが 図5-2 の通りだったとします。
　小さい「１」で示しています。
　この時、各ブロックの empty rectangle は図の通りです。
　わかりやすくカラフルに色付けしてみました😊

　図を見てみると、「数字ｎが入らない」という意味では本当に空っぽな矩形状ばっかりですよね。
　まさに「empty rectangle」です。

　ここからは、empty rectangle を中心に考察しましょう。
　図5-3 の黄色ブロックにおいて、▽の４カ所には数字１が入らないとします。

　この時、▽以外の５マスに２本の直線を通すことができるんですね。
　図5-3、タテヨコの２本です。
　ここではその直線を ERL（empty rectangle line）と名付けておきましょう。

　そして、この２本の ERL はブロック内部で必ず交差します。
　交差箇所のマスを ERI（empty rectangle intersection）と名付けましょう。

　こう定義することで、どの empty rectangle に対しても必ず ERI が存在することになりますね。

　図5-2 の盤面をもう一度（図5-4）。
　各ブロックの empty rectangle に対して、ERI を示します。
　＊印のマスが ERI です。

　empty rectangle に対して ERI は斜めに位置しているような感じ？
　そんなふうに見えますね。

　まずはセクション１で使った盤面（図5-5）。
　ただし、図と表現を少し変えます。

• 青色ヨコ列において、数字１は●と○にしか入らない。
• ピンク色ブロックにおいて、数字１は▽の４カ所には入らない。つまり、▽の４マスは empty rectangle である。
• ＊は ERI であり、●はタテ線 ERL 上に存在する。つまり、●と＊は同じタテ列に属している。

　もちろん、図5-5 からの結論は 図1-2 で述べた結論と同じです。
　が、これも表現を変えます。

• ２マス○, ＊と列を共有するマスが１つある。そのマスに数字１は入らない。

　×印のマスに数字１は入らない、というわけですね。
　理由はセクション１とまったく同じです。

　実例も挙げましょう。
　次はセクション２で使った盤面（図5-6）。

• 青色タテ列において、数字５は●と○にしか入らない。
• 左下ブロックにおいて、数字５の入り得るマスを小さい「５」で示した。数字５の empty rectangle はピンク色４マス。
• ＊は ERI であり、●はヨコ線 ERL 上に存在する。つまり、●と＊は同じヨコ列に属している。

　この状況で Empty Rectangle を適用すると、こうなります。

• ×印マスに数字５は入らない。

　理由はセクション２とまったく同じです。