【解法】3D Medusa

　まずは、解法 Simple Colors や Multi-Colors における双対を軽くおさらいしましょう。

　ある列やブロックには、数字１の入り得るマスが２カ所しかない。
　この時、「その２マスは数字１について双対（そうつい）である」と述べました。
　そして、双対をなす２マスに対して、次の２つが同時に成り立っていたわけですね。

• 一方のマスに数字１が入る。
• 他方のマスに数字１は入らない。

　そこで、双対であるマスに色づけをして「数字１が入る/入らない」を区別できるよう可視化させた。
　それが 図1-1 なんですね。
　詳しくは Simple Colors のページで解説しています。

　この双対のことを、このページでは ２マス間の双対 と呼ぶことにしましょう。

　図1-2、マスＡに注目します。
　そのマスには候補数字が２つしかありません。
　ということは、マスＡについて次の２つが同時に成り立つわけです。

• 一方の数字がマスＡに入る。
• 他方の数字はマスＡには入らない。

　あれ？　なんだか２マス間の双対と似てますね！
　そこで、あるマスに候補数字がａ, ｂの２つしかない時、そのマスではａとｂは双対である と言うことにします。

　この双対は マス内部の双対 と呼ぶことにしましょう。

　双対が２種類できたので、ここからはマスの色付けを廃止しましょう。
　マスではなく、候補数字自身に色づけをします。
　次のルールに従って２色を割り当てましょう。

1. 双対である候補数字には異なる色を割り当てる。
2. ある候補数字ｎが複数の候補数字と同時に双対である場合、ｎの相手すべてに同じ色を割り当てる。

　a. の例としては、マスＡの４と８です。双対なので異なる色が割り当てられています。
　b. の例としては、マスＢの４です。３つの候補数字３４４と同時に双対になっているのがわかるでしょうか。

　２色を割り当てた結果が 図1-3 です。
　いろんな候補数字に色がつきましたね。
　これは、マスＡの候補数字４からスタートして、双対の関係を持つ他の候補数字に次々と色をつけてできた結果です。
　できる限り色付けを波及させました。

　ここで、双対である候補数字同士を線で結んでみます。
　すると、図1-4 のようにひとつながりの形ができあがりました。
　ここでは、これを クラスター と呼ぶことにしましょう。

　図1-4 では、青色＆水色・全20個の候補数字からなるクラスターができました。
　なんだか路線図みたいだ☺️

　ちなみに、クラスターには「房」「群れ」といった意味があります。
　海外のサイトでも cluster という用語を使ったりしています。

　さて、図1-4 で作ったクラスター、何のために作ったのか？
　こういう結論を得るためです。

• 青色と水色、どちらか一方の数字全部が当該マスに入る。

　具体的に言うと、次のどちらかが必ず成り立つということです。

• 青色の数字が一挙に各マスに入る。
• 水色の数字が一挙に各マスに入る。

　なぜ「一挙に」なのかというと、青色数字と水色数字のペアは双対の関係にあるからです。
　クラスター上のある数字がマスに入るか否か判明した時、双対の関係によって他のすべての数字も入るか否かが次々と波及していきます。
　そして、ものの見事に色分けした通りに「数字が入る/入らない」に二分されるという結果になるんです。

マスに入るのは青色全部？　それとも水色全部？

　この２択に帰着できる。
　これが色付けの大きな意味なんです。

　前セクションの盤面をそのまま流用しちゃいましょう。
　手抜きとか言わないで😅

　どうせクラスターを作るなら、なるべくデカい物を作る方が解きやすいというもの。
　双対が多そうな候補数字に注目するのがベストかなと思います。
　タテ列・ヨコ列・ブロックを見て、２マスにしか入らない数字をいろいろ見つける。２マス間の双対を見込んで。
　または、候補数字を２個しか持たないマスを重視するのも手です。
　マス内部の双対が見込めますもんね！

　今回は、候補数字の少ない右側３分の１に着目します。
　候補数字６に注目して、マスＡの６から始めてみましょう。

　まずは土台として、マスＡからスタートして候補数字６だけのクラスターを作りましょう。

　まずはＡの属するタテ列とブロックで双対が見つかります。
　極小のクラスターができました。

　そうしたら、拡張した先でさらに双対を見つけて、クラスターをさらに拡張します。
　さらに双対を見つけ、さらにクラスターを拡張し……。
　これを繰り返してクラスターをどんどん大きくしていきましょう。

　とりあえず、図2-2 まで広がりました。

　ここから先、２マス間の双対はもぅ見つかりそうにない。
　じゃぁ、今度はマス内部の双対に目を向けましょう！
　２マスＡ, Ｂを見ると、双対がありますね。
　またさらにクラスターを拡張できました。

　さぁ、マスＡでは６から４へと候補数字が切り替わりました。
　今度は候補数字４について２マス間の双対を探してみます。
　さて、双対はあるでしょうか？

　ありました！
　タテ列に候補数字４の双対が。
　クラスターが少し上に伸びました。

　一方、マスＢの４は……？
　残念ながら双対は見つからず😓

　こういうふうに、２マス間/マス内部、両方の双対を駆使してどんどんクラスターを拡張させていくんです。
　できる限り大きくしていきましょう！

　んで、最終形はどうなったかというと…… 図2-4 です。
　ここまで大きくなりました😊

　セクション１で使った盤面をもう一度紹介しましょう。
　図5-1 です。

　候補数字はすべて盤面上にありますね。
　だから、クラスターも盤面上に乗る。
　「マス内部の双対」という新しい概念も覚えて、クラスターはさらに発展できた。
　路線図みたいになったね〜😊
　……とまぁ、こんな感じで話は進んでいきました。

　だけど、そこには 3D のスの字もないわけです。
　なんで「3D Medusa」なんて名前が付いたんだろう？

　ちょいとこんなことを考えてみます。

盤面を候補数字ごとに分けてみる。

　候補数字１のみ抽出した盤面を１枚。
　候補数字２のみ抽出した盤面を１枚。
　候補数字３のみ抽出した盤面を１枚。
　（中略）
　候補数字９のみ抽出した盤面を１枚。
　ヒント数字のみ抽出した盤面を１枚。
　合計10枚用意して、図5-2 のように重ねてみましょう。

　Photoshop などのソフトを使っている方々なら、容易く想像できるかもしれませんね。
　画像などの編集ソフトでは当たり前のように使われている、あの「レイヤー」です！

　地層のように積み重なったレイヤー達。
　これらを真上から見ると、元のナンプレ盤面になる。
　そういうイメージです。

　２マス間の双対では、同じ候補数字を結びます。
　ということは、その線は１枚のレイヤー上に乗りますね。
　レイヤーを xy平面のようにたとえると、「ｘ方向とｙ方向に線が伸びる」と言えるでしょう（図5-3 緑色矢印）。

　それに対して、マス内部の双対の場合、２つの候補数字は２枚のレイヤーに分かれちゃってますね。
　だから、レイヤーからレイヤーへと線で結ぶことになる。
　つまり、ｚ方向に線が伸びるんです（図5-3 赤色矢印）。

　となると、クラスターは３次元の立体のような形になる。
　これが "3D" Medusa たる所以です。