なぜ任意の整数が作れるのか？

　まず、実数 \(a \; (a > 0)\) に対して次の２つが成り立つことを思い出しましょう。

• \( \sqrt{a} = a^{1/2} \)
• \( (a^x)^y = a^{xy} \quad (x, y \text{ は有理数}) \)

　平方根は \(\dfrac{1}{2}\) 乗と同じ。
　累乗の累乗は指数を掛け算すれば良い。
　こういう軽い解釈でＯＫです。

　これらを使って、\(4\) にルートを２個かぶせた式を累乗で表してみます。

\[ \sqrt{\sqrt{4}} = \sqrt{4^{1/2}} = \left( 4^{1/2} \right) ^{1/2} = 4^{(1/2)^2} \]

　３個かぶせるとこうなります。

\[ \sqrt{\sqrt{\sqrt{4}}} = \sqrt{4^{(1/2)^2}} = \left( 4^{(1/2)^2} \right) ^{1/2} = 4^{(1/2)^3} \]

　同様にして、\(n\) 個だとこうなる。

\[ \underbrace{ \sqrt{\sqrt{\cdots\sqrt{4}}} }_{n\ \text{個}} = 4^{(1/2)^n} \tag{1} \]

　あとは、この \(4^{(1/2)^n}\) から \(n\) をどうにか抽出しよう！　……という魂胆です。
　それには次の公式が重宝します（証明は略）。

• \( \log \,_a \ a^x = x \quad (a > 0 \; \text{かつ} \; a \neq 1,\ x\ \text{は有理数}) \)

　簡単に言うと、\(a^x\) の左側に「\(\log \, _a\)」を施せば \(a\) が外れて、右肩の \(x\) だけが残る。
　この性質を利用すると、うまくいくんです。

　まずは \(4^{(1/2)^n}\) に \(\log\,_4\) を施して \(4\) を外す。

\[ \log \, _4 \ 4^{(1/2)^n} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \tag{2} \]

　そして、\(\left(\cfrac{1}{2}\right)^n\) に \(\log_\tfrac{1}{2}\) を施して \(\dfrac{1}{2}\) を外す。

\[ \log \, _\tfrac{1}{2} \, \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = n \tag{3} \]

　\((2)\) を使って \((3)\) を書き換えると

\[ \log \, _\tfrac{1}{2} \, \left(\log \, _4 \ 4^{(1/2)^n}\right) = n \]

　ここで、\((1)\) を使って \(4^{(1/2)^n}\) を根号に戻し、わざと \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{4}}{4}\) と置き換えてしまえば

\[ \log \, _\tfrac{\sqrt{4}}{4} \left( \log \, _4 \ \underbrace{ \sqrt{\sqrt{\cdots\sqrt{4}}} }_{n\ \text{個}} \right) = n \]

となるわけですね。

　自然対数バージョン。
　根号は \( n \) 重です。

\[ n = - \dfrac{ \sqrt{4} \log \left( \dfrac{\log \sqrt{\sqrt{\cdots\sqrt{4}}}}{\log 4} \right) }{\log 4} \]

　これは、底の変換公式 \(\log \, _x \ y = \dfrac{\log\ y}{\log\ x}\) のおかげで成り立ちます。
　また、\(\log \, \dfrac{\sqrt{4}}{4} = \log \, \dfrac{1}{2} = \log \, 4^{-\tfrac{1}{2}} = -\dfrac{\log 4}{2}\) も使えばＯＫ！