一般的なNG初期値を求めてみよう!
合成操作PQを施して得られる有限数列 \(\{a_n\}\) において、項の個数を \(p\ (p \geqq 2)\) とします。
そして、末項を \(a_p=-2\) とします。
この時、初項 \(a_1\) はどんな値になるのか?
それを探っていきます。
数列 \(\{a_n\}\) は漸化式 \(a_n=\dfrac{3}{a_{n-1}+2}\ (n=2,3,\cdots,p)\) で作られることに注意しましょう。
さて、\(\{a_n\}\) の性質2つを軽く証明しておきます。
(後述の式 \((1) (2) (3)\) を保証するためです)
- 初項以外に \(0\) は現れない。
- どの項も \(-3\) ではない。
どちらも漸化式で証明できます。
まず、分子 \(\ne 0\) である分数は \(0\) になり得ません。
よって、初項以外は \(0\) ではありません。
また、「\(a_{n-1}=-3\) ならば \(a_n=-3\)」つまり「\(a_n \neq -3\) ならば \(a_{n-1} \neq -3\)」も成り立ちます。
ある項が \(-3\) でないなら1つ前の項も \(-3\) ではない、というわけです。
これと \(a_p \neq -3\) により \(a_{p-1} \neq -3\) が得られ、項を1つ遡って同じ理屈を適用すれば \(a_{p-2} \neq -3\) も得られます。
以下、同様に続けると、どの項も \(-3\) ではありません。
さて、漸化式を変形すると \(a_{n-1}=\dfrac{3}{a_n}-2\) です。
これを2通りに変形します。
\((1)\)を\((2)\)で辺々割ると
\[ \dfrac{a_{n-1}-1}{a_{n-1}+3} = \dfrac{-3(a_n-1)}{a_n} \div \dfrac{a_n+3}{a_n} = (-3)\cdot\dfrac{a_n-1}{a_n+3} \tag{3} \]
ここで、\(b_n=\dfrac{a_n-1}{a_n+3}\ (n=1, 2, \cdots,p)\) とおくと、\((3)\) は \(b_{n-1}=(-3)b_n\) となります。
これを \(b_1\) から順に適用し、\(a_p=-2\) に気を付ければ
よって、\(\dfrac{a_1-1}{a_1+3} = (-3)^p\) が成り立ち、これを \(a_1\) について解けば、
\[ a_1=\dfrac{(-3)^{p+1}-1}{(-3)^p-1} \tag{4} \]
上記の論述は \(p \geqq 2\) 限定で成り立ちますが、\((4)\) は \(p=1\) の時も成り立ちます。
したがって、合成操作PQを頓挫させる初期値は \(\dfrac{(-3)^{n+1}-1}{(-3)^n-1}\)(\(n\) は1以上の整数)の形で表されることがわかりました。
ちなみに、本編では「\(-3\) の付近には無数のNG初期値が密集している」と述べました。
これを数学的に言うとこうなります。
NG初期値 \(a_1\) の極限は、
\begin{align} \lim_{n \to \infty}a_1 &= \lim_{n \to \infty}\dfrac{(-3)^{n+1}-1}{(-3)^n-1} \\ &= \lim_{n \to \infty}\dfrac{-3-\dfrac{1}{(-3)^n}}{1-\dfrac{1}{(-3)^n}} = \dfrac{-3-0}{1-0} = -3 \end{align}
これは、簡単に言うと「\(\,n\) の値が極端に大きければ \(-3\) とほぼ同じ値になる」ということです。
\(n\) が1億や1京ともなると、\(a_1=-3.0000000000\cdots\) とゼロが何個並ぶかわからないくらいに肉薄します。
\(n\) が巨大な奇数だと \(a_1=-2.9999999999\cdots\) と \(9\) が大渋滞を起こしちゃう😅