なぜ合計が必ず65になるのか?

 なぜタテヨコかぶらない数字5個の合計は65になるんだろう?
 その証明です。
 証明は簡単です。

足し算で表せば一発です

 なぜタテヨコかぶらない数字5個の合計は65になるんだろう?
 その証明です。

図1

 図1のように、順番に並んだ数字1〜25を足し算で表しちゃいましょう。
 この足し算には次の特徴があります。

  • 0, 5, 10, 15, 20 はそれぞれヨコ1列に並んでいる。
  • 1, 2, 3, 4, 5 はそれぞれタテ1列に並んでいる。

 これを踏まえて、タテヨコかぶらない5マスを任意に選んでみましょう。
 例えば、図1の黄色5マスのように。
 そして、その5マスの和を考える。
 その和について、こういうことが成り立つんです。

  • タテヨコかぶらない5マスをどのように選んでも、その和は 0, 5, 10, 15, 20, 1, 2, 3, 4, 5 の総和になっている。

 たしかに、各ヨコ列に黄色マスは1個しかないのだから、0, 5, 10, 15, 20 は1回ずつしか選ばれない。
 各タテ列も同様で、1, 2, 3, 4, 5 は1回ずつしか選ばれない。
 だから、黄色マスの合計は 0, 5, 10, 15, 20, 1, 2, 3, 4, 5 の総和になる。

 その総和は 0+5+10+15+20+1+2+3+4+5=65 です。
 したがって、タテヨコかぶらない数字5個の合計は必ず65になるんですね。